前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
美国众议院金融委员会主席要求SEC撤销对交易所进行定义的提议:金色财经报道，美国众议院金融委员会主席McHenry表示，要求美国证券交易委员会（SEC）撤销对交易所进行定义的提议。[2023/6/14 21:34:43]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
public-xwitness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
数据：参与PSYOP预售的前三大买家亏损近90%的资金:5月19日消息，Lookonchain监测数据显示，如果用户将10枚ETH发送给ben.eth参与PSYOP预售，目前只能拿回1枚ETH。PSYOP的前三大预售买家情况如下：
0xac34开头地址发送29枚ETH给ben.eth，收到5,095,139枚PSYOP。如果他现在卖掉所有PSYOP，只能得到不到3枚ETH，损失90%的资金。[2023/5/19 15:14:26]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
Bitgert宣布已准备成立Web3风投机构Bitgert Ventures:金色财经报道，由原生区块链驱动的主流加密货币生态系统Bitgert宣布正在准备启动Web3风投机构Bitgert Ventures，该实体将参与pre-seed、种子轮、私募轮、以及其他融资轮的去中心化产品和项目投资。此外，Bitgert Ventures还将协助头部风险投资家将资金投资于处于不同发展阶段的选定产品和做市策略，以推动各个Web3垂直领域的下一代加密货币产品。（U.today）[2023/4/16 14:06:58]
3.2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
Polygon Labs总裁：Salesforce已与Polygon合作开展基于NFT的忠诚度计划:3月18日消息，Polygon Labs 总裁 Ryan Wyatt 在社交媒体上称，客户关系管理（CRM）软件公司 Salesforce 已与 Polygon 合作开展基于 NFT 的忠诚度计划，Salesforce 将通过其管理平台帮助其客户加入 Polygon，创建基于 NFT 的忠诚度计划。[2023/3/18 13:12:18]
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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