Uniswap v3 在恒定乘积曲线 x*y=k 的基础上增加了粒度控制功能（《对 Uniswap v3 的研究》（2021 年第 33 期））。流动性提供者（LP）可以选择将资金集中在交易最频繁的区间内，以实现集中流动性和提高资金利用率，而 Uniswap v3 为流动性提供者的头寸创建 ERC-721 合约。
我把 Uniswap v3 的这种做法称为条件流动性（Conditional Liquidity），即在一定条件下才存在的流动性。条件流动性在传统金融领域中不存在。那么，AMM 为什么可以支持条件流动性？条件流动性对 AMM 乃至一般的 DeFi 领域有什么影响？对这两个问题的研究，有助于我们深入理解 AMM 和流动性的本质。
《AMM 的一般理论》（2021 年第 31 期）研究了 AMM 的一般形式。与这篇文章一样，本文也只研究针对两种加密资产的 AMM，分别称为 X 和 Y，并以加密资产 X 为记账单位，也就是所有价格、市值的单位均为加密资产 X。
万向区块链邹传伟：数字人民币仍面临三大挑战:万向区块链首席经济学家邹传伟表示，展望未来，数字人民币仍面临如下挑战。一是客户使用体验和接受度，能不能真正用起来，二是数字人民币系统的安全和效率，能不能支持十四亿中国人使用，三是数字人民币能否发挥其天然便于跨境支付的特点，走出国门应用。（经济参考报）[2020/9/24]
AMM 的状态体现为流动性池中两种加密资产的数量，假设在某一时刻为 (x,y)。在 AMM 的一般形式下，不管两种加密资产之间如何交易（不考虑交易手续费的影响，下同），流动性池始终满足
其中 f 是关于 x 的单调递减凸函数。
万向区块链邹传伟：第三方支付可在数字货币应用推广中发挥作用:万向区块链、PlatON首席经济学家邹传伟表示，数字货币中，人民银行在做好技术标准和应用规范的基础上，支付路径、支付条件以及之上的商业应用会交给市场来做。尽管从支付清算基础设施的角度看，数字货币与第三方支付不一样，但第三方支付目前对各种应用场景的渗透以及建立的收单系统，可以在数字货币的应用推广中发挥积极作用。（21世纪经济报道）[2020/4/22]
假设投资者用数量为△x 的加密资产 X，向 AMM 换取数量为△y 的加密资产 Y。这笔交易完成后，流动性池的状态变为 (x+△x,y-△y)，并且满足。这等价于
邹传伟：区块链会为金融交易后处理带来新的问题:4月13日消息，万向区块链公司首席经济学家邹传伟刊文称，区块链会为金融交易后处理带来新的问题，包括但不限于：1.结算的最终性；2.有效处理差错和例外情况；3.在去中心化环境下轧差后净额结算的可行性；4.跨账本DvP的可行性。 区块链应用于金融交易后处理，是从账户范式到Token范式的转换。但仅靠范式转换不足以支持在金融交易后处理中引入区块链的必要性和合理性，关键要证明区块链能提高效率，降低风险，并保留目前模式的优点。（第一财经）[2020/4/13]
在流动性池状态为 (x,y) 时，一单位加密资产的瞬间价格为
现场 | 邹传伟：DC/EP属于Token范式 而非账户范式:金色财经现场报道，万向区块链公司首席经济学家邹传伟在“CAN峰会?万物互链”上对DC/EP的设计作出五点推测，其中包括：
1、账户松耦合=Token范式。DC/EP属于Token范式，而非账户范式。
2、DC/EP使用基于UTXO模式的中心化账本。这个中心化账本体现为数字货币发行登记系统，由中央银行维护，是中心化的，不需要运行共识算法，这样就不会受制于区块链的性能瓶颈。
3、DC/EP钱包。用户需要使用DC/EP钱包，钱包的核心是一对公钥和私钥。公钥也是地址，地址里面存放人民币的数字凭证。这个数字凭证基于100%人民币准备金发行。
4、DC/EP交易。用户通过钱包私钥，可以发起地址间转账交易，交易由中央银行直接记录在中心化账本中。
5、DC/EP推行策略：先批发（to B），后零售（to C或用于一般目标）；先境内使用，再用于跨境支付。[2019/12/3]
以上 (1)-(3) 是从流动性池状态的角度理解 AMM 的三个最基本关系。对 AMM 还可以从另外两个角度理解，并且都能给出关于 AMM 内在逻辑的新洞见。
哈佛梅森学者邹传伟：目前核心问题是区块链内外的交互:今日邹传伟博士在五道口校友群分享看法表示，区块链涉及的问题很多，但区块链要对现实世界的人类经济社会活动产生影响，目前面临的一个核心问题（或核心障碍）是资产、交易和信息在区块链内外的交互。因为“区块链外的信用体系，完全不同于区块链内的去信任环境，甚至是两个不太相关的问题。”[2018/3/3]
第一，从投资者的角度。投资者可以将 AMM 视为一个「黑盒」，主要关心用数量为△x 的加密资产 X 向 AMM 换取加密资产 Y 时，能换来多少。如果两个 AMM 对同样数量的加密资产 X，总能提供同样数量的加密资产 Y，那么站在投资者的角度，这两个 AMM 就是相互等价的。
图 1：Uniswap v3 的流动性池
第二，从流动性提供者的角度。流动性提供者关心的问题，在某一个价格水平上，要支持 AMM 活动，需要提供多少流动性。从 (1) 和 (3) 可以看出，流动性池可以表达成关于瞬间价格 p(x) 的函数：
但对流动性的优化使用也是有成本的，主要体现为 Uniswap v3 离不开一个个具体的区间。但只有在区间内，投资者的感受是一致的。除了瞬间价格和平均价格以外，投资者关于的另一个重要指标是交易对瞬间价格的影响，也就是如下定义的滑点函数：
可以证明，对和 Uniswap v3，滑点函数都等于
AMM 对条件流动性的支持来自两个方面。
第一，加密资产价格是连续变化的，在任何时间段内，交易只会发生在局部价格区间，流动性提供者只需要提供这个区间内的流动性就能支撑 AMM 运行。如果 AMM 使用的是全局流动性，那么在任何价格区间必然会形成「死库存」，降低流动性使用效率。Uniswap v3 通过清除「死库存」，减轻了流动性提供者的负担，但在局部价格区间内为投资者提供了相同的交易功能，因此属于帕累托改进。
第二，智能合约的应用，使流动性提供者可以针对未来可能的情况有差异性地提供流动性。如果流动性提供者足够理性，那么流动性在不同价格区间上的分布就会有效反应市场对价格走向的预期。在那些可能性较高的价格区间，会聚集更多流动性。根据 (10)，这会降低滑点函数（k 变大，s 降低），从而为投资者带来更好的交易体验。选择这些价格区间的流动性提供者，会分享更多交易带来的手续费。而在那些可能性较低的价格区间，流动性提供者相当于向投资者提供了一个尾部保险。这样，市场机制驱动流动性的供给，能最大化流动性配置效率。当然，这个过程中也伴随着流动性提供者之间的复杂博弈。
类似逻辑对其他 DeFi 领域也成立。DeFi 项目使用超额抵押来管理去中心化、去信任化环境中的信用风险，将信用风险转化为因超额锁定抵押品而造成的流动性风险，并根据加密资产价格变化来动态监控抵押品的充足程度。但超额抵押品主要针对加密资产价格大幅下跌的情况，在加密资产价格上升的情况下，信用风险不高。因此，可以考虑在使用超额抵押的 DeFi 项目中，通过智能合约引入条件抵押品。比如，仅在加密资产价格跌到一定程度时，才作为抵押品，在其他时候则可以自由使用。这样就能提高抵押品使用效率。条件抵押品本质上相当于为加密资产价格大幅下跌的情况提供尾部保险。
综上所述，在 DeFi 领域，可以使用智能合约让同一份加密资产在未来不同情况下发挥不同作用。比如，一个 ETH 持有者可以承诺在某一价格区间中为 AMM 提供流动性，同时承诺在 ETH 价格下跌到一定程度时为一个去中心化借贷平台提供抵押品。只有这两个情景不会同时发生，这种「一物二用」的做法就是成立的。本质上，这是 Arrow-Debreu 证券的思想在 DeFi 领域的应用，会为 DeFi 带来新的创新空间。
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