原文作者：FoxTechCEO康水跃，FoxTech首席科学家孟铉济
前言：如果密码学家没有发现张量积和多项式取值之间的联系，那就很难出现多项式承诺协议Brakedown，也就不可能诞生基于Brakedown的Orion、以及FOAKS这类全新的快速算法。
在许多依赖多项式承诺的零知识证明系统当中，使用了不同的承诺协议。根据a16z的JustinThaler在2022年8月文章“MeasuringSNARKperformance:Frontends,backends,andthefuture”的评估，Brakedown虽然有较大的ProofSize，但是无疑是当下最快的多项式承诺协议。
FRI、KZG、Bulletproof是更为常见的多项式承诺协议，但速度是它们的瓶颈。zkSync采用的Plonky、PolygonzkEVM采用的Plonky?2、Scroll采用的Ultra-Plonk等算法都是基于KZG的多项式承诺。Prover涉及到大量的FFT计算和MSM运算生成多项式和承诺，这两者都会带来大量的计算负担。虽然MSM有运行多线程加速的潜力，但需要大量内存，即使在高并行下也很慢，而大型FFT则严重依赖算法运行时数据的频繁洗牌，难以通过分布式加速跨计算集群加载。
正是由于有了更为快速的多项式承诺协议Brakedown，才使这类运算的复杂度大幅降低。
FOAKS即FastObjectiveArgumentofKnowledges，是由FoxTech提出的一种基于Brakedown的零知识证明系统框架。FOAKS在Orion的基础上进一步减少FFT运算，目标是最终消除FFT。此外，FOAKS还设计出一种全新的非常精妙的证明递归方式来减少证明大小。FOAKS框架的优势在于在实现线性证明时间的基础上有着较小的证明大小，非常适合应用于zkRollup场景当中。
已超过一百万个钱包在Base测试网络上部署了智能合约:金色财经报道，Base 在 Builder Quest 期间，超过一百万个钱包在Base的测试网络上部署了智能合约。该计划旨在识别网络中的潜在问题，该网络仍然是一个测试网，在高压力条件下。随着活动的激增，该团队能够确定平台设计和基础架构中的关键压力点，目前正在积极解决这些问题。[2023/6/8 21:24:11]
下文我们将详细介绍FOAKS所使用的多项式承诺协议Brakedown。
在密码学当中，承诺协议由证明者对某一个秘密值进行承诺，生成一个公开的承诺值，这个承诺值具有绑定性和隐藏性，之后提交者需要打开此承诺并将消息发送到验证者，以验证承诺与消息之间的对应关系。这一点，使得承诺协议和哈希函数的作用有许多共通之处，但是承诺协议往往依赖于公钥密码学领域的数学结构。而多项式承诺是一类对于多项式的承诺方案，也就是说被承诺值是多项式。而同时多项式承诺协议当中还包含了在给定的点取值并给出证明的算法，这就使得多项式承诺协议本身成为一类重要的密码学协议，是许多零知识证明系统的核心部分。
而在最新的密码学领域的研究当中，由于发现了张量积和多项式取值之间的联系，所以诞生了一系列与此相关的多项式承诺协议，Brakedown是其中的代表性协议。
在详细介绍Brakedown的协议细节之前，需要先了解一些基础知识。我们需要先了解线性码、抗碰撞哈希函数、默克尔树、张量积的运算以及多项式取值的张量积表示。
首先是线性码。一个消息长度为k，码字长度为n的线性码是一个线性子空间
首个利用RGB智能合约的比特币NFT市场DIBA在主网启动:金色财经报道，首个利用RGB智能合约的比特币NFT市场 DIBA（Digital Bitcoin Art and Assets）在主网启动，此次发布还包括比特币钱包 BitMask，这是一种“仅限比特币”的加密钱包，可以持有音乐和艺术数字资产。
据报道，DIBA的支持者包括 Draper Associates 创始人 Tim Draper、ACTAI Unicorn Fund 联合创始人 Bill Tai、NIMA Capital 投资人 Yasmeen Drummond 和 Martial Eagle Fund CEO及联合创始人 Erez Kalir 。[2023/5/19 15:13:00]
C∈Fn，使得存在一个从消息到码字的单射，称为编码，记作EC：Fk→C。任意的对于码字的线性组合仍然是一个码字。两个码字u，v的距离即他们的汉明距离，记作△(u,?v)。
最短距离为d=minu,?v△(u,?v)。这样的码记作线性码，用d/n表示码的相对距离。
其次是抗碰撞哈希函数与默克尔树。
使用H:{?0,?1?}2?λ→{?0,?1?}λ表示一个哈希函数。默克尔树是一种特殊的数据结构，可以实现对于2?d个消息的承诺，生成一个哈希值h，在打开任何消息时候需要d?1个哈希值。
默克尔树可以被表示为一个深度为d的二叉树，其中L个消息元素m1?,?m2?,...,?ml分别对应树的叶子。树的每一个内部节点都由它的两个子节点进行哈希计算得出。打开消息mi时，需要公开从mi到根节点的路径。
Allbridge：将对用户进行赔偿，补偿程序预计下周开始:金色财经报道，跨链桥Allbridge发布公告，表示已着手对用户进行赔偿。Allbridge在公告中写道：“我们将从因紧急关闭而导致交易陷入待处理状态的网桥用户开始。他们将首先获得补偿，其次是流动性提供者。”其目前正在为无法提取资产的有限合伙人起草一份申请表，允许他们申请赔偿并提供损失详情。该表格预计将在未来两天内完成，补偿程序预计将于下周开始。
此前消息，Allbridge因安全事件导致约57万美元损失，目前一攻击者已归还1500枚BNB，Allbridge正邀请另一攻击者谈判。[2023/4/5 13:46:13]
用以下记号来表示：
h←Merkle.Commit(m1?,...,?ml)
(mi,πi)←Merkle.Open(m,?i)
{?0,?1?}←Merkle.Verify(πi,?mi,?h)
图1?：默克尔树
我们还需要了解张量积的运算是怎么做的。数学上，张量是向量和矩阵向高维空间的扩展，是很重要的研究对象，详细的讨论张量超出本文的研究范畴，这里只介绍向量和矩阵的张量积运算。
图2??：向量和矩阵的张量积运算
紧接着，我们需要知道多项式取值的张量积表示。
当中提到，多项式的取值可以被表示成张量积的形式。在这里我们考虑多线性多项式的承诺。
具体来讲，给定一个多项式，他在向量x0?,?x1?,...,?xlogN-1?的取值可以写成：
摩根士丹利：清晰的加密货币监管对行业发展很重要:金色财经报道，摩根士丹利（MS）周三在一份报告中表示，监管清晰是加密行业发展的必要条件，美国政府可能更容易就新的加密法达成一致，并“遵循拜登行政命令的精神”，使美国保持在创新的前沿。据该银行的公共政策分析师称，到 2023 年底，有关技术监管、加密货币、处方药定价、增税和中国竞争的立法将有不同的通过机会，具体取决于 11 月选举的结果。
分析师还表示，定义数字资产监管对于行业的发展非常重要，特别是在稳定币、加密产品、加密的机构所有权以及中央银行数字货币 (CBDC) 的可能性方面，目前民主党和共和党阵营的政策制定者都对当前的加密监管感到失望，他们认为需要更严格的政府监督来解决一些问题，尤其是在消费者保护方面。报告称，随着美国证券交易委员会 (SEC)、商品期货交易委员会 (CFTC) 等政府机构争夺监管地盘，新立法的不确定性延长将对加密行业产生负面影响。[2022/5/26 3:42:26]
根据多线性的定义，每一个变量的次数是0或1?，因此，这里有N个单项式和系数，以及logN个变量。令
，其中i0?i1?...ilogN-1?是i的二进制表示。令w表示多项式系数，
同样的，定义
令
。于是有X=r0??r1?。
从而，多项式取值可以被表示成张量积的形式：?(x0?,?x1?,...,?xlogN-1?)=0??r1?>。
最后，我们来看FOAKS、Orion当中使用的Brakedown的过程。
Coinbase Ventures在2022年Q1完成超70次投资:5月19日消息，官方消息，Coinbase表示，仅在2022年第一季度，Coinbase Ventures就完成了70多笔交易，迄今为止已超过300笔。Coinbase Ventures投资于web3技术堆栈，并将跨链投资扩展到以太坊之外，目标是促进开放的多链金融未来。[2022/5/19 3:27:31]
首先，PC.Commit将多项式系数w划分成k×k的矩阵形式，并将其编码，记作C2?。之后对于C2?的每一列C2?进行承诺建立一个默克尔树，然后再对于每一个列形成的默克尔树树根建立另一个默克尔树，作为最终的承诺。
在取值证明的计算中，需要证明两点，一是近似性，二是一致性。近似性保证了承诺的矩阵确实和编码后的一个码字足够接近。一致性保证y=0??r1?>。
近似性检验：近似性检验由两步组成。首先，验证者发送一个随机向量0给证明者，证明者计算Y0?与C1?的内积，也就是以Y0?的分量为系数对C1?的行计算线性组合。由于线性码的性质，Cy?0?是Yy?0?的码字。之后，证明者证明Cy?0?确实是从被承诺的码字计算出的。为了证明这一点，验证者随机选取t列，证明者打开对应的列并提供默克尔树证明。验证者检查这些列和Y0?的内积和Cy?0?当中对应位置相等。当中证明如果使用的线性码有常数的相对距离，那么被承诺的矩阵就以压倒性的概率与一个码字接近。
一致性检验：一致性检验和近似性检验的流程完全类似。不同之处在于，不使用随机向量Y0?而是直接使用r0?来完成线性组合的部分。类似的，c1?也是消息y1?的一个线性码，并且有
?(x)=1?,?r1?>。当中证明，通过一致性检验，如果被承诺的矩阵与一个码字接近，则以压倒性概率成立y=?(x)。
以伪代码形式，我们给出Brakedown协议的流程：
Publicinput：TheevaluationpointX，parsedasatensorproductX=r0??r1?;
Privateinput：Thepolynomial?，thecoefficientofisdenotedbyw.
LetCbethe-limearcode，EC：FkFnbetheencodingfunction，N=k×k.IfNisnotaperfectsquare，wecanpadittothenextperfectsquare.Weuseapythonstylenotationmattoselectthei-thcolumnofamatrixmat。
functionPC.Commit(?)：
Parsewasak×kmatrix.TheproverlocallycomputesthetensorcodeencodingC1?，C2?，C1isak×nmatrix，C2isan×nmatrix.
fori∈do
ComputetheMerkletreerootRoott=Merkle.Commit(C2?)
ComputeaMerkletreerootR=Merkle.Commit(),?andoutputRasthecommitment.
functionPC.Prover(?,X,R)
TheproverreceivesarandomvectorY0?∈Fkfromtheverifier
Proximity?
Consistency?
ProversendsC1?,?y1?,?C0?,?y0?totheverifier.
Verifierrandomlysamplestasanarray?andsendittoprover
foridx∈?do
ProversendsC1?andtheMerkletreeproofofRootidxforC2?underRtoverifier
functionPC.VERIFY_EVAL(πX,?X,?y=?(X),?R)
Proximity:?idx∈?,?CY?0?==0?,?C1?>andEC(Yy?0?)==CY?0?
Consistency:?idx∈?,?C1?==0?,?C1?>andEC(Y1?)==C1?
y==1?,y1>
?idx∈?,EC(C1?)isconsistentwithROOTidx,andROOTidx’sMerkletreeproofisvalid.
Outputacceptifallconditionsaboveholds.Otherwiseoutputreject.
结语：多项式承诺是一类非常重要的密码学协议，被广泛的应用在许多密码学系统当中，尤其是零知识证明系统。本文详细介绍了多项式承诺Brakedown协议以及和其相关的数学知识，作为FOAKS很重要的底层组件，Brakedown对FOAKS的实例化性能的提升起到了重要作用。
参考文献
:AlexanderGolovnev,JonathanLee,SrinathSetty,JustinThaler,andRiadS.Wahby.Brakedown:Linear-timeandpost-quantumsnarksforr?1?cs.CryptologyePrintArchive.https://ia.cr/2021/1043.
:XieT,ZhangY,SongD.Orion:Zeroknowledgeproofwithlinearprovertime//AdvancesinCryptology–CRYPTO2022:42?ndAnnualInternationalCryptologyConference,CRYPTO2022,SantaBarbara,CA,USA,August15?–?18,2022,Proceedings,PartIV.Cham:SpringerNatureSwitzerland,2022:299-328.https://eprint.iacr.org/2022/1010?
:Bootle,Jonathan,AlessandroChiesa,andJensGroth."Linear-timeargumentswithsublinearverificationfromtensorcodes."TheoryofCryptography:18?thInternationalConference,TCC2020,Durham,NC,USA,November16?–?19,2020,Proceedings,PartII18.SpringerInternationalPublishing,2020.
JustinThalerfromA16z?crypto,MeasuringSNARKperformance:Frontends,backends,andthefuturehttps://a16z?crypto.com/measuring-snark-performance-frontends-backends-and-the-future/
张量积的介绍：https://blog.csdn.net/chenxy_bwave/article/details/127288938?
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