从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
Moonbirds创始人：项目代币将具备多种效用:7月4日消息，Proof兼Moonbirds创始人Kevin Rose今日于个人推特发布了一篇长推，概述了Proof和Moonbirds过去一段时间的发展状况以及未来规划。
在谈及代币相关话题时，Kevin Rose提到：“我们项目代币将有多种效用，并成为艺术、数字和现实生活奖励的连接纽带，让持有者与他们认为有价值的事物建立连接。”
值得一提的是，该推文的配图列举了六种效用，分别为：
1. 艺术展览及合作，比如访问Proof的策展；
2. 限量版商品和货物，如获得一些少量供应的高质量原创周边；
3. 独家活动，如参与一些的线下活动；
4. Proof原创系列，如参与一些Proof内部推进的实验性项目；
5. 白名单，如获得新项目的铸造资格；
6. 其他实验，如获得游戏等Moonbird相关实验的体验资格。[2023/7/4 22:17:21]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
Mechanism Capital合伙人今日买入价值2000万美元BTC多单和1950万美元ETH多单:2月17日消息，据GMX数据显示，Mechanism Capital合伙人兼知名GMX Trader Andrew Kang地址（0xe8...39BD）今早减少了持仓价值3500万美元的ETH多单和3700万美元的BTC多单，后又累计买入了持仓价值2000万美元的BTC多单和1950万美元的ETH多单。
目前，该地址持有10倍杠杆持仓价值达1966万美元的ETH多单和8.8倍杠杆持仓价值达2013万美元的BTC多单，分别浮盈18万美元和13万美元。[2023/2/17 12:13:26]
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
审计机构Mazars：币安比特币储备率达 101%:金色财经报道，据审计机构 Mazars 在网站发布的公告显示，Mazars 于北京时间 2022 年 11 月 23 日 7:59:59，对币安控制资产中的比特币、以太坊上 BTCB 和 BNB Chain 上 BBTC 在比特币区块高度 764327 的持有情况进行了审计，结果为币安持有的比特币资产是其负债（客户存入资产）的 101%，币安的比特币负债约 575742.4228 枚。Mazars 表示，本次审计考虑了以其他资产为抵押品借出以上三种资产的情况。[2022/12/7 21:29:09]
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
约3000万枚USDC新铸币进入流通:金色财经报道，派盾监测数据显示，约3000万枚USDC的新铸币进入流通，目前USDC总流通供应量超409亿枚。[2022/11/28 21:06:12]
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
COSIMO Ventures推出专注于PoS网络的基金，拟筹集2亿美元资金:9月13日消息，风投机构COSIMO Ventures推出专注于质押的风险管理数字收益基金COSIMO Y，目标是筹集2亿美元的资金。COSIMO Y将投资于多元化的PoS网络，并使用衍生产品来帮助对冲风险。（Business Wire）[2022/9/13 13:27:22]
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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