前言
上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
广州市将促进密码与区块链等数字经济新技术深度融合:10月26日，《广州市黄埔区、广州开发区、广州高新区促进商用密码科技创新和产业发展办法》正式推出。在推动密码产业科技创新方面，打造“密码+”创新生态，促进密码与云计算、大数据、物联网、人工智能、区块链、5G等数字经济新技术、新业态深度融合，支持加密通信技术、加密存储技术、芯片等密码核心技术研发。（科技日报）[2020/11/3 11:29:23]
我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：
左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42
右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42
左侧等于右侧，验证完毕。
声音 | Anchorage联合创始人：加密技术正在开创分布式系统、安全性和密码学研究的新领域:据AMBCrypto报道，在最近的一次演讲中，加密安全公司Anchorage的联合创始人Diogo Monica谈到了加密在提高个人安全、隐私和数据主权方面的作用。Diogo注意到加密降低了黑客攻击和服务中断的风险，他宣称加密技术正在开创分布式系统、安全性和密码学研究的新领域。他称，“缺乏个人安全、缺乏隐私和数据主权是我们日常生活中的事情，我们接受这些东西作为互联网的一部分，但这不应该是这样，这就是加密技术的来源。加密货币的发展实际上帮助你的每一台设备变得更安全，因此有助于你的个人安全，新的加密方法有助于保护你的数据，并最终让你重新获得一些隐私。”[2020/2/3]
在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：
继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？
或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？
动态 | 近 27 亿电子邮件地址和密码等组合的文件被泄露系有人在暗网上售卖:根据慢雾区情报，近日有人泄露了近 27 亿电子邮件地址和密码等组合的文件，随后慢雾安全团队进行了持续跟踪与分析。之后发现，有人在暗网上售卖 “Collection #1~5, Latest Anti Public (120GB) and Zabagur #1” 总计 847GB 的数据，数据结构涉及如下组合：电子邮件地址/密码、用户名/密码、电话/密码等。
经过慢雾安全团队的确认：此次泄露数据量极为巨大，这些泄露的部分数据很可能会严重威胁大量交易所用户的资产安全，慢雾安全团队提醒数字货币相关用户及交易所注意风险，提高风控级别，及时阻拦可能存在的异常登陆及交易操作。[2019/1/23]
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。
动态 | 密码朋克运动的发起人之一Timothy C. May去世:以太坊联合创始人Vitalik Buterin今日发推称，《加密无政府主义者宣言》（The Crypto Anarchist Manifesto）的作者Timothy C. May已去世。Timothy C. May是密码朋克运动的发起人之一，也是英特尔早期资深的科学家。1992年，他建立了密码朋克邮件列表，全世界的密码学家、程序员、极客在这里通过加密电子邮件进行交流。[2018/12/16]
Millier循环
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：
METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
现场 | 姜海：密码学将随着黎曼猜想等理论研究的深入迎来大发展:金色财经现场报道，今日，2018可信区块链峰会在北京召开。在主题为“区块链安全焦点关注”的区块链安全论坛上，丁牛科技有限公司CEO姜海结合最近黎曼猜想被证明引起了密码学界的高度关注，分析了黎曼猜想与区块链密码安全。他提出，尽管黎曼猜想的证明对于传统密码安全有极大的冲击，但是区块链技术的安全建立在SHA-256、椭圆曲线、算法校验等基础之上，在使用过程中能够极大地抵抗密码攻击。尽管最近有很多的安全事件发生，而其根本原因在于程序的违规操作。未来随着随机发生器、量子计算机以及黎曼几个等基础理论的研究，密码学将会有更大的发展空间。[2018/10/10]
其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算f_17的结果：
最后我们计算(81+52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组
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