在数字时代中，数字化文档的认证性、完整性和不可否认性，是实现信息化安全的基本要求。数字签名则是满足上述要求的主要方式之一，亦是现代密码学的研究内容之一。
数字签名有哪些形式？基于密码学的数字签名优势几何？有哪些常用的数字签名实现方案？使用过程中又潜藏何等风险？我们将先从理解概念为始，再为大家逐步深入介绍。
区块链百科No.34：基于椭圆曲线签名方案
随着计算机信息处理能力的不断提高，对密钥长度的要求也越来越高，这个问题对于存储能力受限的系统来说显得尤为突出。
椭圆曲线密码体制（ECC）的提出改变了这种状况，它可以用更短的密钥提供与其他体制相当的或者更高级的安全，并已成为迄今被实践证明安全、有效、应用较广的3种公钥密码体制之一。本文将继续为大家介绍基于椭圆曲线的数字签名方案。
参议员Cynthia Lummis：2022年围绕数字资产监管的讨论被点燃了:金色财经报道，支持加密货币的美国参议员Cynthia Lummis在社交媒体上称，2022年，围绕数字资产监管的讨论被点燃了。虽然Lummis-Gillibrand数字资产框架没有通过，但我们有一个坚实的跳板，可以在明年继续进行这项立法和进一步的数字资产立法。[2022/12/26 22:08:48]
椭圆曲线在代数学和几何学上，已被广范研究了150年之久，有坚实的理论基础。
所谓椭圆曲线是指维尔斯特斯拉（Weierstrass）方程：
所确定的平面曲线，其中a、b、c、d、e属于域F，其可以是有理数域Q、复数域C，还可以是有限域GF（p）。
美联储戴利：加密行业问题不会影响美联储的数字美元工作:金色财经报道，美联储戴利表示，加密行业问题不会影响美联储的数字美元工作。在央行数字美元方面，美联储将在创新与保护之间找到平衡。[2022/11/22 7:54:27]
椭圆曲线是其上所有点（x、y）的集合，外加一个无穷远点O（定义椭圆曲线上一个特殊的点，记为O，它为仿射平面无穷远的点，称为无穷远点。在xOy平面上，可以看做平行于y轴的所有直线的集合的一种抽象）。
密码学中普遍采用的是有限域上的椭圆曲线，它是指椭圆曲线方程定义式中，所有的系数都是在某一有限域GF（p）中的元素。它最简单的公式为：
数字货币发展写入十四五规划“稳妥推进数字货币研发”:11月3日，《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二〇三五年远景目标的建议》全文披露，其中提及“稳妥推进数字货币研发”。十四五规划建议称，建设现代中央银行制度，完善货币供应调控机制，稳妥推进数字货币研发，健全市场化利率形成和传导机制。（21财经）[2020/11/4 11:35:14]
该椭圆曲线上只有有限个离散点，设为N，则N称为椭圆曲线的阶为N。N越大，安全性越高。基于此，椭圆曲线的图示可以表示如下：
当然，基于不同变量值，椭圆曲线还有其他的表示形式：
列支敦士登银行与Hex Trust合作提供数字资产托管服务:金色财经报道，列支敦士登银行Mason Privatbank Liechtenstein AG宣布与香港数字资产托管公司Hex Trust合作提供数字资产托管服务。该银行在亚洲和欧洲拥有高资产净值客户，他们有兴趣投资于数字资产，例如加密货币、稳定币和证券型代币。[2020/6/13]
当我们仔细观察这些曲线时，能发现一些有趣特性：（1）对称性，即曲线上的任何一点都可以在x轴上反射，并保持曲线不变；（2）任何非垂直直线与曲线的交点至多有三个。
我们可以把这条曲线想象成一场桌球游戏。在曲线上取任意两点并通过它们画一条直线，它将与曲线相交于另一个位置。在这个桌球游戏中，你在A点拿一个球，把它射向B点，当它击中曲线时，球要么直接向上反弹(如果它在x轴以下)，要么直接向下反弹(如果它在x轴以上)到曲线的另一边。我们可以把球看做在两个点间移动，曲线上的任意两点碰撞可得到一个新的点。
声音 | 赵长鹏：对财富没有太多追求 够用后就是个数字:有媒体称赵长鹏是“最富有的流浪者”，对此赵长鹏表示：我对财富没太多追求，够用了之后就是个数字，野心不大。另外我一直没觉得自己在流浪，世界不大，但也不小，我们生活在地球上，能到处看看世界挺好，在中国也会想到处走走。[2018/12/19]
A·B = C
或者可以用某一个点自身不断碰撞出新的点。
A·A = B
A·C = D
……
在这个过程中，一个初始点经由n次运算会得到最后到达的点，当你只知道这两个点的值，要找出n是很难的。
这就像一个人在房间里随机玩一段时间桌球游戏，对他而言，按照上面描述的规则一遍又一遍地击球是很容易的。但如果有人走进房间，球刚好结束到达一个点，即使他知道所有的游戏规则，以及球从哪个点开始，也不能确定球到达此处所被击中的次数。容易正向计算，难以反向计算，这也是陷门函数的基础。
1985年，Koblitz和Miller将椭圆曲线引入密码学，提出了基于有限域GF（p）的椭圆曲线上的点集构成群，在这个群上定义离散对数难题并构造出基于其的一类公钥密码体制，即基于椭圆曲线的离散密码体制，其安全性基于椭圆曲线上离散对数问题的难解性。
我们以基于椭圆曲线的ECDSA数字签名实现方案为例，阐述其具体的实现过程。
密钥生成算法
假设GF（p）为有限域，E是有限域GF（p）上的椭圆曲线。选择E上一点G∈E，G的阶为满足安全要求的素数n，即nG=O（O为无穷远点）。
选择一个随机数d，d∈[1，n-1]，计算Q，使得Q=dG。那么公钥为（n，Q），私钥为d。
签名算法
假设待签名的消息为m，经过如下计算过程，签名者对消息m的数字签名为（r，s）。
验证算法
签名接收者B对消息m签名（r，s）的验证过程如下：
判断r和r1的关系，如果相等，则签名有效；否则，签名无效。
除了上述介绍ECDSA方案之外，基于椭圆的数字签名方案还有很多，而类似DSA的其他方案例如Schnorr、EIGamal等方案也都被移植到椭圆曲线有限群上。
从上述介绍可知，数字签名的安全性依赖于基于椭圆曲线的有限群上的离散对数难题。
与前章所述RSA数字签名和基于有限域离散对数的数字签名相比，基于椭圆曲线的数字签名方案具有如下特点：在相同的安全强度条件下，签名长度短，密钥存储空间小，适用于存储空间有限，带宽受限、要求高速实现的场合。
此外，椭圆曲线资源丰富，同一有限域上存在着大量不同的椭圆曲线，这也为安全性增加了额外的保障。
正是由于椭圆曲线具有丰富的群结构和多选择性，并可以在保持和RSA、EIGamal体制同样安全性的前提下大大缩短密钥长度，因而有着更为广阔的应用场景。
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