许多预测模型都要求时间序列具有一定的一致性，即“平稳性”。平常的转换，即整数阶差分(譬如，在金融学中表现为建模收益而不是绝对价格)，消除了数据中的记忆，从而影响了建模的预测能力。
本文概述了分数微积分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平稳性和有意义的记忆之间做出权衡。
一般而言，我们会把一个给定的时间序列理解为一个随机过程产生的样本，并试图推断出其分布及统计数据以建立一个预测模型。
建立随机过程的预测模型是为了平衡样本的特殊性和一般性：该模型根据一般模式的背景对给定的序列做出解释。
Azuki公布Elementals销售时间表，分为Azuki持有者、BEANZ持有者与公开销售三阶段:6月26日消息，Azuki公布Azuki Elementals系列NFT销售时间表，Azuki持有者可于北京时间6月28日00:00铸造1枚Elemental；BEANZ持有者可于6月28日00:10铸造1枚Elemental，在此期间Azuki持有者每持有一枚Azuki即可铸造一枚Elemental，只需减去Azuki预售轮中铸造的Elemental数量；6月28日00:20将开放公开销售，每个钱包可铸造最多3枚Elemetal NFT。公开销售将采用荷兰式拍卖，以2枚ETH开始，价格每5分钟减少0.1枚ETH，公开销售总计提供1万枚Elemental。Azuki与BEANZ持有者将支付2枚ETH押金，并获得押金与公开拍卖中荷兰式拍卖的最终价格之间的差额退款。[2023/6/26 22:00:26]
比一般预测回归更具体的是，由于时间结构的原因，时间序列一般具有其固有顺序。任何给定的实例都反映了其发展变化情况，即过去跟踪记录的特定记忆。
Kava Network：Kava 12主网推出时间提前至1月18日:1月12日消息，据官方推特，Kava Network宣布将Kava 12主网将于1月18日提前一天推出。Cosmos DAO技术将允许任何Cosmos链分叉并利用Kava改进后的开源DAO进行配置。
此前金色财经报道，Kava Network宣布Kava 12主网计划将于1月19日推出，此次更新重点在于发展Kava的链上DAO。[2023/1/12 11:07:33]
平稳性
为了确定生成过程的一般模式并映射给定的排列，在实际建模之前我们通常将此特定序列的记忆作为预处理步骤的一部分予以删除。
高盛策略师：美联储可能长时间维持紧缩政策:金色财经消息，高盛集团（Goldman Sachs）的策略师称，在通胀持续高企的情况下，美联储可能会继续保持鹰派。以Cecilia Mariotti为首的策略师表示，投资者似乎对央行改变鹰派政策变得更加乐观，在之前的周期中，政策制定者为应对经济疲软而温和地改变路线。?
但这一次，高盛策略师表示，市场可能低估了持续通胀压力的风险，这可能会使央行在更长的时间内维持紧缩政策。（彭博社）[2022/7/27 2:40:33]
在机器学习领域的监督学习中，该序列可以发现一般性结构并对给定的实例与标记训练集中更多的样本进行匹配。
在数学领域,过程的统计特性不会因时间顺序的改变而变化，这意味着系列不会随时间推移而呈现出一种趋势。该概念被称为平稳性。
盈透证券创始人：我已持有比特币3年时间:9月17日消息，盈透证券创始人Thomas Peterffy接受CNBC采访时自称已持有比特币三年时间。针对AMC院线决定接受加密货币付款一事，他表示不明白为何要这么做，他认为稳定币更适合作为支付手段。谈到监管问题，他说监管机构的批评没问题，但也应明确告知应该怎么做，不应该怎么做，目前仍缺乏明晰性。早前消息，盈透证券已于本周推出加密货币交易服务，客户可通过Paxos Trust Company交易和托管BTC、ETH、LTC和BCH。（CNBC）[2021/9/17 23:32:54]
检查时间序列平稳性的方法有很多种:
观察线形图，寻找一段时间内的明显的趋势。比较数列中各种分割的基本汇总统计数据。观察自相关图：曲线下降越快，滞后越明显，序列的非平稳性阶数越小。最常见的平稳性统计检验是单位根的ADF检验。
中钞区块链技术研究院张一锋：法定数字货币仍在研发，还没有明确的推出时间表 :中钞区块链技术研究院张一锋于近日在接受上证报采访时表示，法定数字货币仍在研发，还没有明确的推出时间表。但即使发行了也不会一夜之间颠覆现有的货币形态，它很可能会在长时间内和今天的纸币以及电子支付手段混用。但这并非意味着研究工作的停滞不前。张一锋表示，全球央行都在积极尝试在数字货币研究领域的探索。此外，张一锋还强调，比特币和以太币不是数字货币，只有央行发行的法定数字货币才是真正的数字货币。[2018/3/29]
单位根是指初始条件或外部冲击不会随着时间的推移而消散，而是通过该序列传播，并通知所有后续值。该含义从直观上正式地解决了在单位圆上的过程特征方程。
对于给定的置信水平，ADF测试零假设“序列中存在单位根”以及序列稳定性的替代。它直接证明了，单位根的存在确实意味着该序列的不稳定。
分数阶微积分
事实上，在17世纪牛顿和莱布尼茨发明微积分后不久，数学家们就对分数阶导数的使用进行了探索，将微分或积分的顺序从自然数扩展到实数。然而，其应采纳赫斯特和曼德尔布罗特在20世纪的成果，为分数微积分找到初期的自然应用，并使其与霍斯金和格兰杰于20世纪80年代创建的Arfima模型一同进入金融领域。
大约在1730年，欧拉就该归纳给出有史以来第一个启发式，通过函数将二项式系数推广到实数阶。后来，在黎曼和刘维尔的积分理论中，重复微分的柯西公式使之变得更加严谨。
这里，我们仅仅给出了时间序列差分应用程序的形式启发式：
B表示滞后操作符，即对于t>1,BX_t=X_{t-1}和某个时间序列X={X_1，...}。一阶元素阶差分可以用恒等算子I表示，如下：
金融时间序列建模的应用
在金融领域，时间序列起主导作用。为了更好地理解分数阶差分的特征，我们将其应用于一些典型的金融时间序列。
利用以下代码，将差分算子的上述形式序列的展开式应用到指定实阶d和固定窗口大小的时间序列上，得到变换后的序列，然后只需将一个pandas时间序列输入参数阶和lag_cutoff的ts_difference函数中即可。
2016-2018年比特币的价格(红色，右轴)，以及部分衍生品(蓝色阴影)
正如你可能已注意到的，比特币的价格在2017年和2018年经历了一次明显的炒作。实际上，看看一阶差分，我们发现价格在某些日期上涨了2500美元以上。上图展示了一些分数阶差分的平滑函数插值。这似乎很奇怪，在如此强劲的趋势下，约0.4的弱差分实际上竟足以使该序列呈平稳型：给定样本的ADF统计量为-5，其已低于DFt-分布的临界值-2.86,因此在置信度为95%下，该序列可以假定是平稳的。的确，随着财富的来回变动，它很快就变得吝啬起来。
低阶差分足以满足平稳性的结论与其他许多金融时间序列相似。
为了说明平稳性和记忆之间的权衡，我们可以进行适当的可视化，并将ADF测试统计数据以及与原始序列的相关性绘制成具有不同阶差变换的序列。。
对于商品期货、汇率、指数等各种典型的金融序列，这种对比清晰地表明了差阶满足金融建模的平稳性条件，同时保留了特定的记忆结构，从而保持了原始序列的统计动态。
ADF检验统计量(左轴，红色曲线)和线性相关(右轴，矢状花蓝色曲线)与原序列进行各种分数阶差分，应用于各种金融时间序列。石板灰中的常数线表示ADF检验的显著性水平为95%。
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