前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。
Rangeproof
1.?预备知识
aL：表示向量{a1,a2……an}
2n：表示向量{20,21…2n-1}
<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量
2.?证明
Alice想要证明
v?
=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=grhv^v?}
public-x??????????witness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
人民链发布社区防疫平台等应用案例，微众银行区块链提供开源技术支持:11月9日消息，日前，2021云链峰会在北京和济南两地同步线上举行。会议围绕“促进数据安全有序开放，强化数字治理融合应用”的主题，探讨当下数字中国建设的重点、难点，探讨数据要素的开放与流通。会议宣布人民链山东数据节点揭牌并正式落户济南，并重磅发布人民链建设方案及应用案例。目前，人民链已在政务、社会治理、传媒、金融、消费等领域，面向政府部门、事业单位、金融机构、企业商户等提供一系列区块链应用。其中，社区防疫管理平台、预付宝管理平台、区块链数字卷宗管理系统等应用案例基于区块链底层开源平台FISCO BCOS研发，微众银行区块链提供开源技术支持。（央广网）[2021/11/9 6:41:36]
V=grhv????(1)
<aL,2n>=v???(2)
aLoaR=0n??(3)
aR=aL-1n???(4)
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a
L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.?2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。
动态 | 印尼海关总署将采用区块链技术降低物流成本:印尼海关总署将开始采用区块链技术进行资料分享，此举旨在降低运输成本，并改善以纸张文件程序所造成的效率低下问题。该部门周二宣布，其正在使用IBM和马士基（Maersk）联合开发的区块链数字运输解决方案TradeLense。（雅加达邮报）[2020/2/19]
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；
2.证明者要证明：
<aL,2n>=v(5)
<aL,aRoyn>=0???????(6)
<aL-1n-aR,yn>=0???(7)
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a
L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：
2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：
z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积
声音 | 埃森哲：到2022年世界银行业将通过区块链技术节省200亿美元:据Dailyhodl报道，根据埃森哲最近发布的一份研究报告，超过一半的银行高层管理人员认为区块链将为不久的将来金融机构的成功发挥关键作用。据该公司分析师称，到2022年，世界银行业将通过实施区块链节省高达200亿美元。[2018/12/20]
4.?三个点积优化成1个点积
=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v
声音 | 广州日报：抓住区块链等新技术与宣传思想工作结合点:广州日报今日发文称，广州要不断增强新媒体语境下的宣传思想工作水平，必须始终把能力建设放在首位，加快新一代融媒平台建设，抓住大数据、云计算、人工智能、区块链等新技术与宣传思想工作的结合点；通过系统的培训学习和实践锻炼，全方位提升宣传思想战线的创新本领，破解创新发展“本领恐慌”的问题。[2018/9/12]
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)
=>?令
L=?aL-z*1n
R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n
投资管理公司Lombard Odier完成基于区块链技术的债券交易:投资管理公司Lombard Odier完成基于区块链技术的债券交易。其投资组合经理Simon Vuille表示：区块链技术已经显著降低了相对于其他结算方式的交易成本，也降低了交易对手风险。首席技术官Stephane Rey表示：通过区块链交易，我们已经了解了很多有关区块链技术的信息，我们需要在法律与合规方面将其落到实处。[2018/1/10]
δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>
5.验证：
1.证明者把L/R/V发送给验证者；
2.验证者事先算好δ
3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v
4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ
因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.?一个零知识证明协议
由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s
L
、s
R来隐藏a
L，a
R。如公式(10)(11)所示：
l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)
r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)
此时，定义公式(12)
t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)
可以看出系数t
0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)
r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n
需要校验：
P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n
=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n
=?hμgl(h`)r
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0+t1x+t2x2
需要校验：
=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2
=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2
=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2
=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{
l/r/t/
τ
x
/
μ
/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z
p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))
附录
1.Bulletproofs论文：
chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf
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