作者介绍：
0xmc@0xreviews:机制审计、产品设计、密码经济学独立研究员。
0xjezex@0xreviews:代币经济学独立研究员，初级Solidity工程师，伦敦帝国理工学院金融科技硕士生。
0xstan@0xreviews:独立开发者，DappLearning核心贡献者。
paco@perp.com:Solidity开发者、安全研究员、DeFi爱好者。
前言
Curve稳定币最难的部分是LLAMMA。LLAMMA参考了Uniswapv3中的一些原则。但是，白皮书中的价格与Uniswapv3白皮书中的算法不同。我们将统一这两个项目，并尝试了解CurveCEO是如何设计这个演算法。
用Uniswapv3作为参考
本文中价格的定义与Uniswapv3互为倒数。因此，我们修改了Uniswapv3白皮书中的公式，让它与本文保持一致。简而言之，LLAMMA试图让Uniswapv3中的一切都变得动态，以便为crvUSD债务人和清算人提供更适当的价格。
恒定乘积公式(ConstantProductFomula)比较
Uniswapv3白皮书中的公式(2.2)：
图一：Uniswapv3虚拟流动模拟
Curve稳定币白皮书中的公式(1)：
报告：超过68.45%的总供应量已超过一年没有移动:金色财经报道，据 Bitfinex 的报告，超过 68.45% 的总供应量，即现有 1940 万个 BTC 中的 1327 万个，已经超过一年没有移动。这种增长趋势强烈表明人们对比特币所有权的态度正在发生变化，另一个强调长期积累趋势的重要指标是本周持有 1 枚 BTC 的地址突破 100 万大关。数据表明，这些投资者自 2021 年年中以来逐渐积累，此后 1-BTC 钱包的上涨轨迹几乎没有出现明显逆转。随着市场暴跌，这一趋势在 2022 年变得更加明显，结果这一群体增加了 20% 。
Bitfinex重申其先前的分析，即比特币可能处于牛市的早期阶段，尽管当前市场低迷，但比特币的长期持有者仍未被吓倒。长期持有的增加趋势，加上鲸鱼的兴起以及交易费用增加对矿工的好处，描绘了一幅有弹性的比特币生态系统的图景。[2023/5/24 15:22:00]
图二:有外部价格来源的AMM
在这裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up
而对应关係为：
TON区块链通过Orbit Bridge新增对TUSD的支持:金色财经报道，True USD (TUSD) 稳定币团队已成为 The Open Network 区块链项目的合作伙伴，此次合作将使用户能够通过 Orbit Bridge 将资产转移到 TON 网络。Orbit Bridge 跨链平台由韩国公司 Ozys 开发，该协议允许将加密资产转移到多个网络，包括以太坊、BNB、Polygon、Klaytn、ICON 和 XRP。[2023/3/27 13:29:28]
对应的恒定乘积公式为：
而在这之间：
流动性计算公式对应
Uniswapv3白皮书中的公式(6.7)：
由于它们的价格定义之间存在倒数关係，对应的公式为：
A股收盘：深证区块链50指数上涨1.45%:金色财经消息，A股收盘，上证指数报3155.22点，收盘上涨1.01%，深证成指报11332.01点，收盘上涨2.13%，深证区块链50指数报2917.12点，收盘上涨1.45%。区块链板块收盘上涨0.28%，数字货币板块收盘上涨0.6%。[2023/1/5 10:23:05]
此公式的一个具体应用是：
平方展开可以得到：
从上面的公式我们很容易的可以了解，当y0保持不变，Pcd和Pcu数值越接近，相对应的流动性I则越大。
换句话说：
流动性不可能是无限的,在UniswapV3中对应最小的tick会限制L的大小。
由此可以推断在LLAMMA中，我们还需要定义一个指标来衡量价格之间的最小差异，来继续Uniswapv3和Curve的类推。
对应最小差价
NFT流行收藏家：加密货币的大部分启动资金来自美国:金色财经报道，拥有超36万粉丝的NFT流行收藏家punk6529发推称，美国允许你向认可的投资者出售未注册的证券，实际上没有任何限制。因此，大多数初创企业，对建立自己的业务感到兴奋，而不是浏览美国证券交易委员会的一堆法规，将走快速通道，去找认可的投资者。谁是典型的投资于初创企业的认可投资者？1.天使投资。2.家族办公室。3.VC。风险投资公司通常能以更高的估值进行更大的投资。你有什么选择？在大多数情况下，所有这些对初创企业来说都比较困难。
在加密货币公司的启动资金方面，目前，加密货币的大部分启动资金来自美国。那么谁是加密初创公司的重要资助者。一个不详尽的清单：a16z、USV、Pantera、DCG、Paradigm、Polychain 等等。[2022/5/29 3:48:05]
从A的定义中可以看出?,当p↓和p↑越接近时，A则越大，流动性集中度越高：
Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被预设。因此，tickSpacing决定了LP分配流动性的最低价格范围。tickSpacing越小，价格范围越窄、越精确。在Uniswapv3中，不同的费用等级决定了不同的tickSpacing。
然而，crvUSDLLAMMA不需要那麽多tickSpacing。由于LLAMMA仅有ETH-crvUSD,因此只需要让每一个tickSpacing=100basepoint。?
来自Uniswapv3的公式(6.1)：
多链开源NFT协议Rarible Protocol将集成Immutable X:5月24日消息，多链开源NFT协议Rarible Protocol正在集成Layer2扩容解决方案Immutable X，将使基于该协议的项目能够通过Immutable X在以太坊上允许用户低成本交易NFT。Rarible Protocol由NFT市场Rarible开发，是一套面向NFT构建者的工具，目前由Rarible DAO治理。[2022/5/24 3:38:26]
在LLAMMA中，A=100，来自Curve稳定币白皮书的公式(11)：
设置n=-i,A=100,我们会得到：
设计Pcd和Pcu
我们希望LLAMMA具有以下属性：当ETH价格上涨时，矿池购买ETH。当ETH下跌时，矿池出售ETH。在这样的机制下，我们把Pcd和Pcu定义为Po的函数并且比线性函数更陡峭，因此它们的增长率会比Po更快。同时从图中可以看出两条曲线Pcu和Pcd分别通过两点(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。满足以上要求的Pcd和Pcu其实有很多曲线。通用公式为：
当m<n
让我们从最简单的例子开始：
把Pcu和Pcd带入I的平方展开：
然后f2可以计算为：
不难发现f2在这种假设下很难理解和计算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函数:
把Pcu和Pcd带入I的平方展开：
重新计算f2：
可以看出，当?Pcu和Pcd是Po的三次函数，整个数学形式就简单多了。去掉了平方根项，计算方便多了。如果接受更高的订单，则AMM的价格和Po将相差很大，因此购买ETH的成本会更高，而导致更大的清算损失。总之，把Pcu和Pcd定义为Po的三次函数是一个更好的选择。
其他参数的推导
Pcu和Pcd是关于Po的三次函数,取特别数值Po=P↑,不难得到Y=Y0和X=0，于是：
鉴于I的公式，我们可以计算f和g：
在这边，我们最终得到完整的恒定乘积公式：
将上方公式转化为Y0二次方程式：
用一个未知数的二次方程求解Y0：
如果价格变动的够慢让预言机价格Po完全有能力遵循它，给定X和Y，使用Uniswapv3的计算公式，是有可能计算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最终将处于的区间内：
参考出处：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf
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